Il problema dell’esploratore

[Insomma, c’è questo libro, I giochi matematici di Fra’ Luca Pacioli, che mi sembra proprio un gioiellino, non ostante una copertina non azzeccatissima. Ho chiesto agli autori (note biografiche in fondo) e all’editore il permesso di pubblicarne uno. Il Problema 22, o dell’esploratore. Perdonate lo stravolgimento della grafica originale. G.B.]

di Dario Bressanini e Silvia Toniato

[1] Bolzone. Uno à 90 mesure de grano e si le vol portare de logni 30 giornate, e trova un vitural che lile vol portare ogni volta 30, ma ne vole ogni sera una mesura per lo chavallo. Dimandasse commo lo portarà aciò ch’el chavallo non lo mangi tuto, e quanto n’avanzarà fornito el viagio.
[2] Sapi che se ne pò formare infenite de queste simili e faranse per una via.
E per questa dirai che lo portarà a questo modo, zoè ne portarà prima 30 mesure longi 20 giornate, el chavallo n’averà mangiate 20 mesure e 10 mesure le ni serà avanzate; poi tornerà per altre 30 e portaralle 20 giornate, e avanzaranne pur 10 mesure perché 20 se n’averà mangiate; e poi retornarà per altre trenta e portaralle pur 20 giornate e avaranne avanzate 10, che in tutto n’arà in quello luogho avanzate mesure 30. Poi pigliarà quelle 30 mesure e portaralle quelle 10 giornate che li mancha, e mangiarassene 10 e 20 n’avanzarà a ponto, e a questo modo dirai che lo portarà e avanza 20.

[1] Un tale ha 90 misure di grano e le vuole trasportare a 30 giornate di distanza. Trova un carrettiere disposto a portarne 30 alla volta, che però vuole una misura per il cavallo ogni sera; come farà a trasportare il grano in modo che il cavallo non lo mangi tutto, e quanto ne resterà alla fine del viaggio?

Commento
Ecco un altro bellissimo rompicapo che, in varie forme, è arrivato fino ai giorni nostri. Si tratta di un problema «algoritmico»: la risposta al problema cioè non è un numero, ma una procedura, una sequenza di istruzioni per portare il grano a destinazione. Ci vogliono 30 giorni per percorrere il tragitto, e il cavallo, che mangia una misura di grano ogni sera, può portare al massimo 30 misure alla volta. È chiaro che se carichiamo il cavallo secondo il massimo consentito e gli facciamo percorrere il tragitto senza fermate intermedie, quando sarà arrivato alla meta avrà mangiato tutto il grano. Questo algoritmo quindi non è per nulla efficiente. È possibile però, anche se Pacioli non lo dice esplicitamente (e in ogni caso ai fini della correttezza del gioco è sufficiente che non sia esplicitamente proibito), fare delle tappe, scaricare parte del grano per costruire depositi intermedi, e tornare al punto di partenza per caricare di nuovo il cavallo. Un altro elemento implicito nella richiesta di soluzione è che il cavallo mangi il grano solo per la parte di tragitto compiuto trasportando un carico. A queste condizioni si riesce a condurre a destinazione una parte del grano. Il difficile però è trovare il metodo per portarne il più possibile. Questo problema quindi è anche classificabile come problema di «ottimizzazione».
Vediamo come, costituendo un deposito intermedio, è possibile arrivare a destinazione senza consumare tutto il grano. Carichiamo il cavallo di 30 misure e viaggiamo per 25 giorni, consumando 25 misure. Scarichiamo le 5 misure rimanenti e torniamo alla partenza. Carichiamo ancora il cavallo con 30 misure e, come prima, dopo 25 giorni depositiamo le 5 misure avanzate, quindi torniamo alla base per l’ultimo carico. Dopo 25 giorni il cavallo ritorna al deposito e, con le 10 misure accantonate in precedenza, si ritrova con 15 misure da trasportare per l’ultimo tratto. Ne usa 5 per finire il viaggio, e riesce a portare a destinazione 10 misure di grano.
Questo procedimento però non è il migliore possibile. Riesce il lettore a trovare l’algoritmo ottimale?

[2] Di quesiti così se ne possono inventare infiniti, e si risolvono tutti con lo stesso sistema.
In questo caso risponderai che il tale trasporta il grano così, cioè comincerà col portare 30 misure per 20 giornate, il cavallo avrà mangiato 20 misure e ne resteranno 10; poi tornerà indietro a prenderne altre 30 che trasporterà ancora per 20 giornate, ne avanzeranno sempre 10 perché il cavallo ne avrà mangiate 20; tornerà indietro per le altre 30 misure che porterà per 20 giornate avanzandone ancora 10, sicché alla fine di quel tratto avrà accumulato 30 misure; poi prenderà queste 30 misure e le trasporterà per le restanti 10 giornate, il cavallo ne mangerà 10 e 20 avanzeranno.

Commento
Il procedimento illustrato da Pacioli permette di salvare 20 misure di grano. È possibile vedere, elencando tutte le possibilità, che questo è il sistema migliore di risolvere il gioco, se si ammette di costruire un solo deposito intermedio. Se invece il numero dei depositi può essere maggiore, si può fare anche meglio. Supponiamo di costituire il primo deposito a 10 giornate. Carichiamo il cavallo, e dopo 10 giornate scarichiamo le 20 misure rimaste. Torniamo indietro, ricarichiamo il cavallo e ritorniamo al deposito dove scarichiamo altre 20 misure. Ripetiamo la procedura una terza volta. Ora abbiamo 60 misure di grano posizionate a 20 giornate dalla meta. Possiamo costituire un secondo deposito distante 15 giornate e, in due viaggi, portare là 30 misure di grano. Per percorrere le ultime 5 giornate consumeremo 5 misure di grano, riuscendo a portarne a destinazione 25, cinque in più rispetto al sistema che prevede un solo deposito. Non è possibile far meglio di così, anche aumentando i depositi intermedi.

Nota 3 relativa al bolzone 22

Aliud ad idem. Uno carcha 90 mesure de gran in su 3 navi 30 per nave, e si passa per 30 gabelle, e ogni gabella vol una mesura per nave, cossì fa per tal modo che satisfeci al passagieri e ancho lin’ avanzò 25 dimando commo fe’ portandolo tutto in una volta.
Dicho che prima caminò per 10 gabelle con tute 3 le navi, e lì se fermò e lasonne el gargo d’una al datiero, zoè 10 mesure per una, e poi con le doi nave carghe caminò 15 gabelle e lì se fermò e lassò per datio el cargo d’un’altra. Ora costui à fatto 25 passagi, li mancha a far 5 e si à una nave carga, e lui li fa e pagò 5 e a lui avanza 25, ideo ech.

Ecco un’altra versione.
Uno carica 90 misure di grano su 3 navi, 30 misure per ogni nave, attraversa 30 dogane e per ognuna c’è un pedaggio di una misura di grano per nave; riesce ad attraversarle in modo da pagare l’imposta e avanzare 25 misure di grano. Come ha fatto, trasportando il grano in una volta sola?
Prima ha attraversato 10 dogane con tutte e tre le navi e alla decima si è fermato per lasciare al daziere il carico di una nave, che vale a pagare i 10 pedaggi per le 3 navi; poi con le due navi attraversa 15 dogane e alla quindicesima paga il pedaggio col carico di un’altra nave. Sino ad ora ha attraversato 25 dogane, gliene mancano 5 e ha ancora una nave carica, paga i pedaggi con 5 misure e a lui ne restano 25.

Prima attestazione e cambi di cornice
Questo problema, diverso nella formulazione ma identico nella so­stan­za, compare anche nella raccolta di giochi matematici composta successivamente, il De viribus quantitatis, al capitolo 49. È interes­sante notare come nel De viribus Pacioli non si sia limitato a trascrivere i problemi già presenti nel nostro manoscritto. Vi sono fre­­quen­ti cambi di ambientazione dello stesso problema: il problema 22 di questo manoscritto ricalca moltissimo la versione di Alcuino, con il cammello sostituito dal cavallo. Nel De viribus in­ve­ce, una ventina d’anni dopo, il problema è ambientato tra Borgo San­­se­polcro e Perugia e si tratta di trasportare delle mele. Cosa più in­­te­ressante, questa volta Pacioli, oltre a fornire la soluzione con un de­­­posito, descrive anche la soluzione ottimale con due depositi intermedi.
Questo gioco è ritornato in auge negli anni ‘40 sotto il nome di «problema della Jeep»; nella sua forma più semplice una Jeep deve attraversare un deserto, ma il suo serbatoio non ha autonomia sufficiente. Può però portare un bidone di benzina di riserva. Anche utilizzando il bidone di riserva non è possibile attraversare il deserto. È tuttavia possibile costituire una serie di depositi intermedi attraverso una serie di tragitti di andata e ritorno dal campo base, dove si trova una scorta illimitata di bidoni di benzina. Il problema è escogitare un algoritmo che permetta di attraversare il deserto. Sembra che problemi simili siano sorti durante la Seconda guerra mondiale nel teatro asiatico, dove però erano degli aerei a dover essere riforniti. Il problema della Jeep è leggermente diverso da quello proposto da Pacioli, la Jeep infatti consuma benzina anche durante il viaggio di ritorno.
Pacioli riprende il problema 52 delle Propositiones ad acuendos iu­ve­n­es, raccolta di problemi di matematica ricreativa compilata da Al­cui­no di York, nella quale il gioco trova la sua prima attestazione nota.
Questo il testo di Alcuino che ci è pervenuto:

LII. Propositio de homine paterfamilias
Quidam paterfamilias jussit XC modia frumenti de una domo sua ad alteram deportari, quae distabat leucas XXX, ea vero ratione ut uno camelo totum illud frumentum deportaretur in tribus subvectionibus, et in unaquaque subvectione XXX modia portarentur, camelus quoque in unaquaque leuca comedat modium unum. Dicat, qui velit, quot modii residui fuissent.

Un capofamiglia ordinò di trasportare 90 moggi di frumento da una delle sue case a un’altra, distante 30 leghe, in questo modo: che il frumento fosse trasportato tutto in tre viaggi con un cammello, che in ciascun viaggio fossero portati 30 moggi e che il cammello mangiasse un moggio per ogni lega percorsa. Dica, chi vuole, quanti moggi sarebbero rimasti.

Osserviamo prima di tutto che il problema è identico a quello di Pacioli, dove però al posto del cavallo abbiamo un cammello. La presenza di tale animale, certo non comune nelle campagne attorno alla cattedrale di York, fa pensare che Alcuino non sia l’autore di questo problema, che probabilmente ha un’origine araba.

LII. Solutio
In prima subvectione portavit camelus modios XXX super leucas X[X], et comedit in unaquaque leuca modium unum, id est modios XX comedit et remanserunt X. In secunda subvectione similiter deportavit modios XXX, et ex his comedit XX et remanserunt X. In tertia vero subvectione fecit similiter: deportavit modios XXX, et ex his comedit XX, et remanserunt decem. Sunt vero de his qui remanserunt modia XXX, et de itinere leucae X. Quos XXX in quarta subvectione domum detulit, et ex his X in itinere comedit et remanserunt de tota illa summa modia tantum XX.

Nel primo viaggio il cammello ha portato 30 moggi per 20 leghe mangiando un moggio per ogni lega, vale a dire che ha mangiato 20 moggi e ne sono rimasti 10. Nel secondo viaggio, allo stesso modo, ha portato 30 moggi mangiandone 20 e ne sono rimasti 10, e così ha fatto per il terzo viaggio: ha trasportato 30 mog­gi, ne ha mangiati 20 e ne sono rimasti 10. Così restano ancora 30 moggi e 10 leghe da percorrere. Nel quarto viaggio ha portato alla casa quei 30 moggi mangiandone 10 lungo il cammino e di tutta quella quantità sono rimasti 20 moggi soltanto.

Il problema ha qualche punto oscuro: si parla di tre viaggi da effettuare, però la soluzione ne prevede quattro.

Gli autori:
Dario Bressanini è docente di Chimica-fisica presso il dipartimento di Scienze Chimiche e Ambientali dell’Università dell’Insubria, appassionato giocologo, divulgatore scientifico e curatore per la rivista «Le Scienze» della rubrica mensile Pentole e provette.

Silvia Toniato, filologa, specialista di testi matematici fra VII e XVI secolo, è docente a contratto presso l’Université de Savoie (Chambéry) e collabora con il Centre d’Etudes Supérieures de Civilisation Médiévale (CESCM) di Poitiers.