Storie infinite
di Antonio Sparzani
Parlavo degli spa- venti dell’infinito, l’ultima volta. Spa- venti di poco conto, naturalmente. La mente degli uomini si arrampica talvol- ta su pareti lisce e pianta chiodi per avere appigli; se poi c’è qualcosa da raggiungere in cima a una determinata parete, all’inizio nessuno lo sa; ma si sa che il rapimento dell’arrampicare è l’arrampicare stesso. Nella storia della matematica, e più in generale della scienza, è talvolta accaduto che dalla sommità della parete siano apparsi panorami – spesso inattesi – di bellezza straordinaria e talvolta invece non c’era nessuna fine alla parete, e i chiodi sono rimasti lì, inutili e rugginosi.
E poi, non crediate, dionescampi, che tutto sia così oggettivo, men che meno nella storia della scienza: taluni hanno detto di scorgere, ad un certo punto della parete, dei paesaggi da togliere il respiro, cui altri hanno invece guardato con stanca indifferenza. Fortunatamente il cervello degli umani è vario assai.
In questa storia dello spuntare dell’idea di infinito all’orizzonte della scienza moderna ci sono stati alcuni che si son com—piaciuti un sacco e altri che sono addirittura inorriditi. Esempio vivido di ciò fu il matematico tedesco Leopold Kronecker (1823 – 1891) che ritenne i “numeri transfiniti” (vedi oltre) creati dal matematico di nascita pietroburghese ma poi attivo a Halle, in Sassonia-Anhalt, Georg Cantor (1845 – 1918), suo antico allievo, Humbug – ciarlatanerie – come del resto il grande matematico e fisico Henri Poincaré (1854 – 1912) che li definì una “malattia” dalla quale la matematica andava guarita.
E la questione è sempre la solita: appena ci si distacca, poco o tanto, da quelle che sembrano essere nozioni intuitive, qualcosa dentro di noi si ribella: ma come, il mondo non è fatto come ce lo siamo sempre immaginati, fin dalla culla? Non c’è risposta tranchant a queste domande; per il passato, non c’è che guardare la storia della disciplina e esaminare quello che hanno fatto i protagonisti, di primo, ma anche di secondo e di terzo piano.
Un fatto che mi pare abbastanza chiaro è questo: inoltrandoci verso la fine dell’Ottocento e entrando nel Novecento – è la burrascosa e abbagliante epoca guglielmina – in molti, moltissimi settori della cultura, nel senso più lato possibile, dell’Occidente (che del resto del mondo non so dir nulla), sempre più troviamo segni di questo strappo del velo che l’intuizione, il paradigma del conoscere che ci sorbiamo automaticamente da piccoli, ci tiene davanti agli occhi.
Uno strappo del velo di Maya – metafora che Schopenhauer traeva dal pensiero indiano – che tratteneva gli umani in un mondo di apparenze fenomeniche dalle molteplici facce, e che costituivano quella cultura che fu poi spesso definita in molti settori, soprattutto scientifici, “classica”.
L’aspetto matematico della faccenda è quello che qui ci tocca da vicino. S’è visto che appena si abborda l’idea di infinito cominciano ad accadere cose strane, ma strane appunto perché non intuitive.
Vi ho detto della scelta cruciale di una definizione di “equivalenza” tra gli insiemi, che in questo caso prende il nome di equipotenza, anche non finiti (che d’ora in poi chiamerò infiniti, senza più problemi). E la scelta è centrata sul criterio che dice che due insiemi sono equipotenti quando è possibile istituire tra loro una corrispondenza biunivoca. Conseguenze di questa scelta sono i fatti strani finora visti, consistenti nella possibilità che un insieme sia equipotente con qualche suo sottoinsieme (non con tutti, ovviamente). Questo però fornisce anche un criterio per andare avanti, almeno in questo senso: anche tra gli insiemi infiniti si potrà stabilire una gerarchia, l’insieme A è più numeroso dell’insieme B.
Si può sì, e si fa così: se succede che non si può stabilire nessuna corrispondenza biunivoca tra A e B – il che ovviamente va dimostrato, non basta dire che non riusciamo ad inventarne una – e se B è un sottoinsieme di A (o, per la precisione, se è equipotente a un sottoinsieme di A), allora A è più potente di B.
Esempio: l’insieme R di tutti i numeri reali è più potente dell’insieme N dei naturali – e quindi dell’insieme dei pari, dell’insieme dei razionali, ecc. In questo caso, infatti, l’insieme degli interi (o anche dei pari, ecc.) è un sottoinsieme di R ma si dimostra che non esiste alcuna corrispondenza biunivoca tra N e R, proprio non ce ne può essere alcuna.
E voi direte, ma ci sono anche insiemi più potenti dell’insieme R, sì che ci sono, non c’è limite a quanto un insieme può essere “numeroso”, vi accenno solo che una tecnica per ottenere un insieme più potente di un insieme infinito qualsiasi A è quella di considerare l’insieme, che si indica di solito con P(A), di tutti i sottoinsiemi possibili di A, detto anche l’insieme delle parti di A. Ad esempio l’insieme R dei reali è equipotente all’insieme delle parti dell’insieme dei naturali N. E così via.
Bene, un modo per nominare la “potenza” di un insieme infinito è quello di assegnarle un numero, che viene per l’appunto detto transfinito: esempio
– la potenza – il numero transfinito – comune ai naturali, ai pari, ai razionali ed eventualmente altri, viene detta potenza del numerabile e indicata con la lettera aleph, א , prima lettera dell’alfabeto ebraico, con indice in basso zero (che qui non sono capace di mettere) , che viene letta “aleph con zero”.
– la potenza – il numero transfinito – corrispondente all’insieme dei numeri reali R è detta potenza del continuo e denotata con la lettera aleph, senza alcun indice, o talvolta provvista dell’indice 1 in basso, “aleph con uno”.
– e così via, si può proseguire: ogni volta si considera l’insieme parti del precedente e si ottiene un aleph maggiore: c’è una – infinita! – successione di numeri transfiniti, aleph con uno, aleph con due, aleph con tre, ecc. ecc.
Adesso armatevi di pazienza e sorbitevi quest’ultimo esempio, che vi darà grande soddisfazione e ovviamente vi stupirà un’altra volta: prendete un segmento KL di una retta r (K e L sono due punti distinti di r). L’insieme dei punti della retta r, lo sappiamo, ha la potenza del continuo, perché rappresenta l’insieme dei numeri reali, o, meglio, siamo noi che abbiamo decretato così, cioè abbiamo deciso che l’oggetto geometrico retta è un modo di visualizzare l’insieme dei numeri reali. Ma il segmento KL, che è un sottoinsieme della retta, che potenza avrà? Voi siete già smagati a questo punto, mica direte che per forza ha una potenza inferiore a quella della retta, o per lo meno, non necessariamente, può averla inferiore oppure no. Come si fa a decidere? Basta vedere se si può trovare o no una corrispondenza biunivoca tra la retta e un suo segmento.
Facile come l’acqua fresca. Guardate questa figura, che ho disegnato con paint e quindi perdonerete le imprecisioni.
Prima di tutto ho piegato ad angolo retto il segmento KL nel suo punto di mezzo H, e nel far questo non ho certamente cambiato la sua potenza; poi l’ho “appoggiato” alla retta r nel punto H. Poi ho scelto un punto P, con la condizione che sia sulla stessa retta che contiene i punti K e L, e che questa sia parallela a r (non ho tracciato questa retta per non appesantire il disegno)..
E poi, a partire da P, proietto i punti del segmento (così spezzato) sulla retta r; proietto vuol dire che faccio corrispondere al generico punto A sul segmento il punto di r che si ottiene, come in figura, tracciando la retta che passa per P e per A e guardando la sua intersezione A’ con r; e così faccio con tutti i punti (B, C, D, ecc.) del segmento KL, tranne beninteso i suoi estremi K e L a cui non corrisponde alcun punto di r, perché la retta che passa per P e per K (o per L, che è la stessa) è appunto parallela alla r e dunque non ha intersezioni con essa. Ad ogni punto del segmento KL ho associato, con la proiezione, uno e un solo punto della retta r e, naturalmente, viceversa: ad ogni punto B’ di r associo uno e un solo punto del segmento KL tracciando il segmento che va da B’ a P e guardando la sua intersezione con KL. Guardate la figura attentamente, fate un respiro lungo, rileggete lentamente, e meditate. Risultato: ho definito una corrispondenza biunivoca tra il segmento KL (senza estremi) e la retta r.
Questo è un bel risultato, anch’esso sorprendente, naturalmente: un qualsiasi segmento, per piccolo che lo prendiate, contiene “tanti punti quanti” ne contiene l’intera retta. Siamo sempre lì, tutto dipende dalla definizione che i matematici hanno scelto per “avere la stessa potenza”, “avere tanti elementi quanti” in termini dell’esistenza di una corrispondenza biunivoca.
Di questo passo si arriva a capire che qualsiasi (pericolosissimo aggettivo) linea piana che voi possiate immaginare, una circonferenza, un’ellisse, uno scarabocchio qualsiasi è equipotente a R. Per trovare insiemi davvero più numerosi di R bisogna sforzarsi parecchio, Non bastano neppure le superficie piane o i volumi: con un po’ di sforzo si dimostra che l’insieme di tutti i punti del nostro infinito spazio tridimensionale è equipotente con un segmentino piccolo ad arbitrio.
E Achille e la tartaruga? La raggiunge? Vedremo.
17 Commenti
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Scusa Antonio, volendo concretizzare: è corretto dire che l’insieme infinito dei segnali in digitale (per esempio di un lettore digitale di temperatura) è un sottoinsieme equipollente all’insieme infinito dei segnali dello stesso lettore in analogico?)
Infinito? Pensavo che la migliore definizione fosse: “Sempre caro mi fu quest’ermo colle…”. Poi, adesso, con tutte ‘ste rette e ‘sti segmenti, non ci capisco più nulla…
se fossi donna di uno così m’innamorerei infinitamente…
Sparz, metti una tua foto!
Carissimo Sparz,
il tuo pezzo di oggi è come quei brevi racconti, apparentemente semplici e lineari, che però contengono tutto il necessario per evocare un’intera epoca storica. In tutta la sua complessità.
Non è che io sappia di matematica [sono soltanto un ammaliato lettore delle sue grandi storie e delle vite dei suoi grandi personaggi], ma sbaglio a vedere una coincidenza tra il metodo che tu usi per dimostrare l’equipotenza tra una retta un suo segmento, e l'”oggetto” matematico (anche se in quel caso si trattava di equipotenza tra sfera e superfice, mi pare) scelto dal più capace e acuto – così dicono – dei membri di Bourbaki, come definizione di Dio?
Definizione che poi Bourbaki stesso scelse come epigrafe per il proprio annuncio funerario, al momento del suo autoannullamento?
DIO E’ LA COMPATTIZZAZIONE DI ALEXANDROFF DELL’UNIVERSO.
(Cito a memoria, sperando che sia giusta.)
E poi, ancora, è vero che una volta resa pubblica la teoria dei numeri transfiniti, Cantor, cattolicissimo, a quanto dicono, venne convocato galileanamente in Vaticano e sottoposto a interrogatorio da parte di una commissione di cardinali, terrorizzati da questo esplodere di infinità che negavano l’esistenza di un Infinito più infinito degli altri e che tutti li comprendesse?
Mi risulta che lui se la sia cavata più furbescamente del suo predecessore.
Invece di abiurare e ribadire la sua verità sottovoce, sembra che Cantor li abbia presi per ignoranza, ingannandoli.
Sostenendo esattamente il contrario di quello che la sua teoria diceva, e facendo credere ai cardinali quello che volevano credere: che esiste un Infinito più infinito di tutti e che tutti li comprende.
La conferma che queste storie affascinanti siano vere o non siano vere, o che i particolari siano giusti, non posso aspettarla che dagli articoli che tu ci doni e che arrichiscono come non mai tutte le anime delle Tribù.
@Capone: occorre mettersi bene d’accordo su con che cosa si identifica l’insieme dei segnali analogici, ad esempio l’insieme delle funzioni continue sulla retta reale, questo insieme ha la stessa potenza di R. L’insieme dei segnali digitali non mi pare strettamente un sottoinsieme di questo, perché non è un insieme di funzioni continue, ma semmai una successione di numeri, per esempio di 0 e 1, il quale insieme ha ancora la potenza di R. Dunque, se così definiti, i due insiemi sono equipotenti, ma non sono strettamente uno un sottoinsieme dell’altro.
@macondo non posso mettere una mia foto: ho già abbastanza sconvolto le masse con questo post.
@soldato: i burbakisti sono spiritosi nel loro assai peculiare senso, chi non sa che cosa sia la compattificazione di Alexander è tagliato fuori, ma, a dire il vero, anche chi lo sa, non ride molto. Nella figura qui sopra se noi considerassimo non KL senza estremi, ma KL con i suoi due estremi K e L, saremmo costretti, per mantenere la corrispondenza biunivoca con la retta, ad aggiungere alla retta una cosa chiamata “punto all’infinito” e l’avremmo così appunto compattificata.
@ Sparz,
fai come il Silvio, prima sconvolgi (le regole del gioco nel primo caso, le masse nel tuo) e poi affascina (formato intero, neh?)
@sparz
Mica chiara la risposta a Capone. L’insieme delle funzione continue da R in R contiene le funzioni da {0,1} in R e questo è l’insieme delle parti di R. Dunque le funzioni continue da R in R dovrebbero avere proprio la cardinalità successiva (ecco successiva… magari ci racconti anche quest’altra storia, del come mai fra N e R non ci sta altro?), non essere equipotenti a R. Sbaglio qualcosa (mai avuto simpatia per i cardinali – nel senso dei numeri)?
caro chik67, in quello che dici ci sono varie imprecisioni che sono sufficienti a far fallire la tua conclusione. L’insieme delle funzioni continue da R in R è costituito da funzioni continue e questo aggettivo è cruciale. L’insieme, chiamiamolo K, equipotente all’insieme parti di R è l’insieme delle funzioni da R in {0,1}, e non il contrario, come tu dici. Questo insieme non è affatto contenuto in quello delle funzioni continue da R in R. K ha sì la cardinalità – la potenza – successiva ad aleph, ma il detto insieme delle funzioni continue non lo contiene ed è della stessa cardinalità di R, cioè aleph.
ops yes, proprio così, ho “semplicemente” invertito la direzione di una freccia e ora mi è chiaro perchè la continuità fa la differenza; grazie per il chiarimento (e grazie anche per il bel pezzo sull’infinito, non l’ho detto ieri e la mia hybris è stata punita).
e io ormai definitivamente arresa al mondo che è sempre diverso da come me lo sarei figurato (la musica da solista va sempre e solo per evidenze indimostrabili ma verificabili, e solo i cattivi scienbziati lo trovano in contraddizione con loro) sono felice come la bambina che ero mentre giocavo con la matematica a legger prima l’articolo e poi i commenti e il piacere del gioco. Per me la mate,atica era il gioco più divertente ci fosse viste le di fondo poche regole di base e le architetture ardite e pazzesche che si potevano fare, purtroppo si giocava da soli; e poi vedere cosa fosse nel concreto questo gioco era (non spocchiosamente anche se delle volte poteva sembrarlo) per altri. Parlavo di questo con un amico ventenne che fa il dottorato in matematica a Gottingen e ridevamo al comune impulso di quando vedendo una costante da qualche parte si diventa matti a pensare che allora quello che è scritto deve avere corrispondenze con quell’altra espressione in cui compariva la stessa costante, e via a canticchiare facendo la notte in bianco. Rileggerò meglio nei dettagli ché l’ora e il vino appannano i miei vaghi neuroni. Che gioia.
Avevo avuto, sin da subito, voglia di sottolinearlo, ma poi ho avuto paura che ciò che sto per dire potesse essere interpretato come un appunto al testo di Sparzani. Non si tratta infatti di questo.
Mi spiego: quando si dice che per Poincaré i transfiniti erano una “malattia”, al contrario che per Hilbert, il quale li considerava “il paradiso”, l’impressione che questo fatto potrebbe suscitare è che quello che viene considerato “l’ultimo grande scienziato universalista”, assumesse, di fatto, in questo caso, una posizione conservatrice se non reazionaria.
E’ solo questo che volevo mettere in evidenza: niente di tutto questo può essere rimproverato, e tale che possa minimamente oscurare la carriera intellettuale di questo “grandissimo”.
La discussione, sull’infinito e sul suo rifiuto, dura da più di duemila anni e ha dato vita, da ambo le parti, a opere, complessità argomentative e anche libri recenti – ricordo ancora con piacere la gustosissima lettura di : Paolo Zellini, Breve storia dell’infinito, Adelphi 1985 – che per me hanno sempre rappresentato veri scrigni del pensiero più alto.
D’altronde, in questo rifiuto, Poincaré si trova in più che buona compagnia: Wittgenstein. Le cui opere sono farcite di argomentazioni che mirano a dimostrare la non legittimità dell’infinito attuale.
Argomenti che, a quanto sembra, sono suoi solo in parte.
Se è vero, come afferma Odifreddi, che tutta la filosofia della matematica di Wittgenstein non è altro che la filosofia matematica di Poincaré.
Arrivando Odifreddi a sottolineare, e io non ho certo la capacità di contraddirlo, che tutto ciò che di Wittgenstein, in matematica, non è di Poincaré, è sbagliato.
Può fare da riscontro a questo intreccio Poincaré/Wittgestein, il fatto che quando le tre grandi filosofie della matematica, Formalismo, Intuizionismo [di cui Poincarè assieme a pochi altri fu iniziatore, ma poi portato a dignità di sistema da Brouwer], e Logicismo, si affrontarono alla seconda Conferenza di Epistemologia delle scienze esatte a Konisberg del 1929 [in margine alla quale Gödel, per la prima volta, parlò in pubblico del Teorema di incompletezza], fu presente anche un’altra componente: quella wittgensteiniana, con una relazione di Waismann, che però non comparirà negli atti ufficiali [come d’altronde non comparirà l’annuncio di Gödel].
La motivazione che viene data è che Waismann non consegnò in tempo il dattiloscritto per la stampa, ma un sospetto può essere che le posizioni di filosofia matematica di Wittgenstein non venissero giudicate sufficientemente originali da poter assumere a una posizione autonoma.
Risulta anche un primitivo interesse di Wittgenstein per l’Intuizionismo, anche se poi non tardò a prendere posizione contro, come aveva fatto per il Logicismo.
@soldierblue
ma con quella posizione il grande Pancarré ERA conservatore. Nel senso proprio che si poneva in un’ottica di “conservare” uno spirito matematico ottocentesco (prevalentemente costruttivista) rispetto agli sviluppi del Novecento (ed è ironico che la Topologia, di cui a lui si attribuisce (imputa?) la nascita avrebbe fatto ben pochi passi senza infiniti attuali: le compattificazioni citate sopra ad es. avrebbero i loro bei problemi).
Non è un giudizio di valore, ma su questo tema Poincaré si poneva nella scia della tradizione assai più di Hilbert.
In tema di citazioni credo che sull’infinito valga la pena ricordare il libro di quel matto di DFWallace “Tutto e di più, storia compatta dell’infinito” che è assai divertente (ma potendo sarebbe da leggere in originale per via di una traduzione che ha fatto scempio di termini tecnici).
Infatti non mi è chiaro quanto, in quella dichiarazione, ci sia di filosofia e quanto di matematica.
Di fatto, a quanto pare, lo stesso Poincaré ha poi di necessità utilizzato l’infinito.
E d’altronde non fu sua l’affermazione che a me pare essere tra le più radicali in ambito scientifico, quando sostenne che: ” Due teorie contraddittorie possono essere usate entrambe, purché non contemporaneamente, e purché non pretendano di spiegare il fondo delle cose?”
Ho provato a leggere D.F. Wallace, ma sono stato scoraggiato, più che da difetti di traduzione, penso, dal modo non lineare di trattare temi che per me risultano difficoltosi già esposti in modo semplice, senza le complicanze aggiuntive dovute alle idiosincrasie di uno scrittore di tale fatta.
Tutto si tiene, credo, nella posizione di Poincaré tenendo conto di una cosa di fondo: il suo “animus” era quello che oggi si direbbe di un fisico-matematico.
Semplificando assai:
– a lui di un problema interessava costruire una soluzione, non dimostrarne l’esistenza. E spesso a questo son serviti gli “infiniti attuali”, a dirci che qualcosa c’è senza darci una strada per raggiungerlo. Me lo immagino imbufalito da questa possibilità: cosa vuol dire esistere se non ci posso metter sopra le mani?
– a lui interessava un problema reale. Era straordinariamente conscio del fatto che la matematica non è la realtà, tutt’al più il linguaggio, o, più ancora, un modello. E quindi ben vengano modelli differenti fino a che servono a chiarire il mio problema. Però non assieme (se no nei miei discorsi si annidano le contraddizioni e la mia soluzione può essere fallace) e non in sostituzione della realtà (ecco il non spiegare il fondo delle cose).
Proprio per questi presupposti era solidamente pragmatista. Alla fine della matematica, come del maiale, non si butta nulla chè può sempre servire (ecco l’universalista). E quindi faustianamente pronto a bere il fiele dell’infinito attuale per la ricompensa del conoscere.
Fortuna per lui che sia morto prima. Credo che Godel lo avrebbe trovato doloroso, non meno di quanto non fu per il suo deuteragonista (in questa conversazione) Hilbert.
@ chik67
Anche se il vero suo deuteragonista è stato Einstein.
In uno dei “Quaderni dell’Ingegnere” venne pubblicato un appunto in cui anche C.E. Gadda diceva che Poincaré era un “nemico” o “avversario” della relatività.
[Questo probabilmente prima di averlo letto sufficientemente – tanto che in seguito lo cita a memoria in francese – oppure confondendolo con Duhem e attribuendoli qualcosa di simile alla invettiva di questo contro la relatività in quanto “scienza tedesca”.
Per quanto riguarda Poincaré va benissimo:
“Era straordinariamente conscio del fatto che la matematica non è la realtà, tutt’al più il linguaggio, o, più ancora, un modello.”
Perché questo significa che ciò che lo contrapponeva a Einstein non può essere frutto di un'”incomprensione”, come spudoratamente si permette di dire Pais, ma proprio la contrapposizione netta in fatto di rapporti linguaggio/realtà.
“Il contrasto teorico tra Poincarè e Einstein è comunque radicale e insanabile. Per Poincarè, la geometria è un linguaggio dell’analisi; per Einstein, la geometria è una branca della fisica.”
UBALDO SANZO, Poincaré e i filosofi, Edizioni Milella 2000, pag. 107.
Se così stanno le cose, allora, nei termini dell’essere “conservatori” usato precedentemente, per quanto riguarda la teoria della relatività, non è appunto Einstein, il reazionario che, come la chiesa col sistema tolemaico, pensa che quella sia la realtà e non un semplice modello matematico?
[…] comunque li prendiate vicini, chissà quanti altri ce ne sono (infiniti, e con potenza aleph, come ormai sapete perfettamente). Si può dir così, che per affermare che un corpo sia fermo in un istante […]