Dialogo sull’entropia (#10 – Fine). L’Aristogas.

di Antonio Sparzani e Dario Voltolini

E allora dimmi, cosa fa il nostro Aristogas nelle cellette? Si comporta discretamente, o fa il pazzariello?

Ebbene sì, siamo noi che lo pensiamo comportarsi discretamente. Il pazzariello sarebbero forse quelle che i fisici chiamano “le fluttuazioni statistiche”, cioe’ i comportamenti fuori norma, quello che non riusciamo a spiegare altrimenti, sempre perche’ ignoriamo la meccanica dettagliata, abbiamo — ti ricordi — lo sguardo bovino — ma generale — d’insieme, che non vede i particolari.
Facciamo un iperstringatissimo riassuntino per punti, e nel frattempo cerchiamo di tirare le fila di questa storia.

a. Il paesino con gli abitanti un po’ in strada con le fiaccole e un po’ dentro casa con tutto spento è un sistema che si può descrivere molto semplicemente, cioe’ con parametri discreti, fiaccola accesa – fiaccola spenta, e dunque descrizione nostra uguale numero totale di fiaccole accese. Ogni numero di fiaccole accese (che e’ cio’ che noi – lontani – possiamo osservare) puo’ essere realizzato in tanti modi, più sono questi modi piu’ alta e’ l’entropia del sistema paesino. Se il paesino ha cento abitanti, niente fiaccole accese o cento fiaccole accese sono stati con minima probabilita’ (si possono realizzare ciascuno in un solo modo, rispettivamente tutti gli abitanti dentro casa, tutti gli abitanti fuori), entropia bassissima; stato con cinquanta fiaccole accese massima entropia (si puo’ realizzare in un numero altissimo di modi), e’ lo stato piu’ probabile.

b. L’entropia poi si calcola con la formuletta del logaritmo del numero dei microstati corrispondenti al dato macrostato, ma la formuletta non e’ quel che ci interessa di piu’. E’ importante capire la faccenda dei microstati.

c. La stanza del ragazzetto (o ragazzetta? Ma e’ vero che sono piu’ ordinate?) molto disordinata ha alta entropia, perche’ il disordine si puo’ ottenere in tantissimi diversi modi, quella ordinata ha entropia bassissima perche’ l’ordine si ottiene in un solo modo: ogni cosa al suo posto. Attenzione che questo esempio ci porta gia’ piu’ vicini alla situazione del gas, perche’ la posizione del paio di calze sporche buttate per terra non si descrive “facilmente” come fiaccola accesa – fiaccola spenta, ma occorre quantificare la posizione delle calze, ecc.

d. Per il nostro aristogas e’ la stessa menata: la posizione e la velocità di ogni sua molecola dovrebbero essere descritte con certi numeri reali che possono (dal punto di vista della descrizione matematica) essere infiniti; allora noi, in un modo che a tutti gli effetti fisici e’ assolutamente equivalente, discretizziamo le possibili posizioni e velocita’ delle molecole del gas, come fossero le posizioni del paio di calze sporche sul pavimento, e ci autorizziamo dunque a dire che la posizione di ogni molecola di gas puo’ essere caratterizzata non da un parametro che che puo’ assumere solo due valori (fiaccola accesa, fiaccola spenta) ma da due parametri (posizione e velocita’) che possono assumere non due valori ma comunque un numero finito di valori (tutti i valori discreti che dichiariamo possibili, perche’ appartenenti alle cellette, di posizione e velocita’ della molecola).
Allora la maggior complicazione che si produce passando dal paesino al gas e’ ‘solo’ una complicazione di conti, di numero di parametri, non una complicazione concettuale. E allora il gas anche lui e’ sostanzialmente come il paesino, avra’ degli stati che potranno essere realizzati in pochissimi modi (macrostati cui corrispondono pochissimi microstati) e degli stati che potranno essere realizzati in una quantita’ spaventevole di modi (macrostati che potranno essere realizzati in fantastilioni di microstati); questi ultimi sono ovviamente quelli con alta entropia e quindi quelli che si realizzano piu’ volentieri.

Esempio: il nostro cubotto di elio viene riscaldato in una sua parte, e quindi per qualche istante si ha dell’elio che in una piccola regione del suo volume ha una temperatura piu’ alta che nel resto dell’elio: la situazione evolve rapidamente: tutto l’elio si porta alla stessa temperatura (ovviamente intermedia tra le due, quella prima del riscaldamento e quella della piccola porzione riscaldata), che e’ uno stato con entropia piu’ alta di quella con temperature diverse: per una data massa di gas lo stato con massima entropia (naturalmente a parita’ di energia complessiva) e’ quello con temperatura omogenea, uguale dappertutto, ma proprio dappertutto.

Naturalmente dimostrare rigorosamente che e’ cosi’, cioe’ che lo stato con massima entropia e’ quello con temperatura uguale dappertutto non e’ facile e non si puo’ fare senza fornule, ma credo che l’esempio del paesino o della stanza possa aiutare, se ve lo fate girare nella testa per conto vostro con calma e davanti ad una buona tazza di te’, verde.

E quindi, in conclusione, cosa ne è, cose ne possiamo fare, del concetto di Entropia? In qwuale modo ci aiuta, in quale ci porta fuori strada?

E dunque questa e’ la storia dell’entropia. Ci aiuta, mi chiedi tu, ma, dico io, e’, come altri, uno strumento concettuale per ricomprendere dei pezzi di realta’ nella nostra testa, per classificarli, per metterne in luce delle caratteristiche cui prima non avevamo pensato, per vederli sotto un’altra luce. E questo secondo me aiuta molto: avere piu’ modi per guardare alla stessa cosa non v’e’ dubbio che aiuta a capirla meglio, e qui si va nella storia della relativita’, che per l’appunto e’ un’altra storia.

C’e’ stato un momento, negli ultimi decenni dell’Ottocento, quando si era appena capita questa storia dell’entropia e delle temperatura omogenea eccetera, in cui molti hanno pensato la prima ovvia conseguenza: l’universo intero e’ un sistema fisico, esso dunque evolve verso lo stato di massima entropia, dunque verso lo stato in cui la temperatura e’ uguale dappertutto, aiuto! E’ la grande morte termica dell’universo, tutta una pappa alla stessa temperatura, niente piu’ stelle calde e ghiacci di Plutone, tutto un magma uguale dappertutto, non c’e’ piu’ spazio per niente di niente. Perfino i giornali dell’epoca hanno diffuso qualche pessimismo. Orrori di una fuorviante divulgazione. Nessuna applicazione cosi’ immediata di alcuna teoria fisica e’ lecita, sia perche’ applicare vuol dire fare dei calcoli seri, anche dei tempi di una simile evoluzione verso la ‘morte termica’ , tempi che risultano di una inimmaginabile lunghezza — per dire il nostro vecchio Sole morira’ molto prima — sia perche’ questa e’ uno strumento di comprensione della realta’, ovvero una teoria fisica storicamente determinata e soggetta a evoluzione e cambiamenti che per definizione non potevano essere immaginati al momento del suo sorgere; infatti poi e’ arrivato Prigogine, la termodinamica di non equilibrio e tutta un’altra bella compagnia, ovvero un’altra storia ancora.

Tanto per rispondere anche al ‘ci porta fuori strada’.

Brunella mi chiede Se la probabilità è soggettiva, quando pensiamo di misurare le cose, non misuriamo il metro (appunto l’entropia)? L’unico modo nel quale riesco a superare una certa oscurità e’ quello di scorgere una domanda davvero sottile, a cui non c’e’ risposta se non che “da qualche parte bisogna pur cominciare per indagare la realta’ che ci circonda in modo quantitativo”. Si comincia a prendere un oggetto e si dice questo e’ il metro, e dopo si ata a vedere se quella sia stata una felice scelta, e se non lo e’ stata si cambia, ma gia’ con qualche idea in piu’. Cosi’ si va avanti. Verso tante storie.

Ora che, passati gli anni, ho smesso d’arrovellarmi sulla catena d’infamie e fatalita’ che ha provocato la mia detenzione una cosa ho compreso: che l’unico modo di sfuggire alla condizione di prigioniero e’ capire come e’ fatta la prigione.

(Italo Calvino, Il Conte di Montecristo)

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10 – Fine